Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Угол BSC пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC равен 2 арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния дробь: чис­ли­тель: 21 умно­жить на ко­си­нус в квад­ра­те бета , зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те \varphi конец дроби , где бета   — угол между бо­ко­вым реб­ром SB и плос­ко­стью ос­но­ва­ния ABC, \varphi  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла SBCA.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть точка O  — центр ос­но­ва­ния, точка M  — се­ре­ди­на ребра BC. Тогда \angle SBO = бета , \angle SMO = \varphi. Пусть SM  =  3x, зна­чит:

BM = SM умно­жить на тан­генс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle BSC пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но BM = 3x умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та x,

сле­до­ва­тель­но,

BO = дробь: чис­ли­тель: BM, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 30 гра­ду­сов конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

OM = дробь: чис­ли­тель: BO, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке BMS:

BS = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: BM в квад­ра­те плюс SM в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5x в квад­ра­те плюс 9x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та x.

Най­дем зна­че­ние ис­ко­мо­го вы­ра­же­ния:

дробь: чис­ли­тель: 21 умно­жить на ко­си­нус в квад­ра­те бета , зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те \varphi конец дроби = 21 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: BO в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: BS в квад­ра­те конец дроби , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: OM в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: SM в квад­ра­те конец дроби конец дроби = 21 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: BO в квад­ра­те умно­жить на SM в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: BS в квад­ра­те умно­жить на OM в квад­ра­те конец дроби = 21 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x в квад­ра­те умно­жить на 9x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 14x в квад­ра­те умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x в квад­ра­те конец дроби =
= 21 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 60, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 70, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец дроби = 21 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 180, зна­ме­на­тель: 70 конец дроби = 21 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 18, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби = 3 умно­жить на 18 = 54.

Ответ: 54.


Аналоги к заданию № 2314: 2346 Все

Источник: Цен­тра­ли­зо­ван­ный эк­за­мен. Ма­те­ма­ти­ка: пол­ный сбор­ник те­стов, 2024 год. Ва­ри­ант 6
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор стереометрии: 1\.5\. Угол между пря­мы­ми, 1\.6\. Угол между плос­ко­стя­ми, 3\.2\. Пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025